Información importante

febrero 18, 2021

La Identidad de Euler

En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:

Explicación

¿Por qué se cumple esa igualdad?. Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:
Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie:

$e^x=1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+\ldots=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{x^n}{n!}}$

Sustituímos x por z·i, usamos que $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ (a partir de aquí se va repitiendo el ciclo de resultados) y agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, obteniendo:

$\begin{matrix} e^{z \cdot i}=1+\cfrac{z \cdot i}{1!}+\cfrac{-z^2}{2!}+\cfrac{z^3 \cdot (-i)}{3!}+\cfrac{z^4}{4!}+\ldots=\\ \\ =\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left (\cfrac{(-1)^n \cdot z^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) \cdot i+\sum_{n=0}^{\infty} \left (\cfrac{(-1)^n \cdot z^{2n}}{(2n)!} \right )} \end{matrix}$

Sabiendo que las expresiones de sin x y cos x en forma de serie son:

$\begin{matrix} \sin{(x)}=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!} \pm \ldots=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \\ \\ \cos{(x)}=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!} \pm \ldots=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!}} \end{matrix}$

llegamos a:

$e^{z \cdot i}=i \cdot \sin{(z)}+\cos{(z)}$

Sustituimos z por π (Pi):

$e^{\pi \cdot i}=i \cdot \sin{(\pi)}+\cos{(\pi)}=i \cdot 0-1=-1$

Pasando -1 a la izquierda como +1 llegamos a la identidad buscada:

$e^{i \cdot \pi}+1=0$

Serie de Fourier

La transformada de Fourier es una operación matemática fundamental para algunas disciplinas como las telecomunicaciones o la física. Sin ella no existirían las telecomunicaciones modernas, no solo Internet o la telefonía móvil, sino la propia telefonía convencional, que no habría podido evolucionar más allá de una forma de comunicación local y no habrían existido las llamadas de larga distancia. Aunque esta operación matemática debe su nombre al matemático Joseph Fourier, lo cierto es que muchos han contribuido a su invención, entre ellos Euler, Bernoulli, Lagrange y Gauss. Fourier tuvo un papel esencial, al inventar las series de Fourier, donde una función periódica se podía descomponer en la suma de funciones trigonométricas. La transformada de Fourier generaliza este concepto. En ciencias como la Física, se utilizan, básicamente, para analizar funciones que son periódicas; analizamos su correspondiente Serie de Fourier, que no es más que una descomposición de la función original en una suma infinita de funciones elementales en senos y cosenos que tienen frecuencias múltiplos de la señal inicial.

La idea intrínseca de la sf nos indica que cualquier función, generalmente periódica, se puede aproximar por medio de funciones simples sinusoidales. De forma que cuanto más coincide una onda simple con el dato observado, más peso tiene en la determinación de la función original. (Con este procedimiento es posible representar funciones deterministas o de índole aleatoria.) Con la sf se adquiere un cambio en el dominio de la función; al pasar de la información contenida en una señal, al dominio en el tiempo, para transitar al de la frecuencia y viceversa, de suerte tal que se mejora el análisis de la señal (Carrillo, 2003). Así que las sf son útiles en el estudio de funciones periódicas, aunque, desafortunadamente, no aparecen con la misma frecuencia en la vida real como las no periódicas.

Definición y algoritmo de cálculo de la Serie de Fourier

Sea f(x) una función de una variable real. Supongamos que dicha función es integrable en un determinado intervalo de longitud T. Se define la serie de Fourier de f(x) como:

donde

es la frecuencia fundamental

Por una parte, la sf es un método más completo y más real que otras aproximaciones obtenidas por métodos como mínimos cuadrados ordinarios (mco), promedios, entre otros; pues como comentamos a lo largo del trabajo, ésta incorpora el comportamiento de las observaciones, permitiéndonos observar tendencias y ciclos de los datos. Empero, ese tema sobrepasa por mucho los alcances de este artículo, por lo que se dejará para otro tema de investigación.

Por otra parte, la sf nos ayuda a conocer el comportamiento de nuestros datos, por medio de una aproximación trigonométrica, pero hay que mencionar que a una mayor cantidad de datos observados mejor es la estimación realizada. En otras palabras, si el número de datos tiende a infinito, entonces nuestro error tiende a cero, lo cual podría ser un inconveniente a pesar de que el polinomio obtenido pasa por los datos observados.

En adición, la aproximación realizada por medio de Fourier es un método completamente determinístico, ausente de perturbaciones aleatorias. Puesto que con el conjunto de datos establecido, siempre obtendremos la misma reproducción a menos que implementemos una variación al agregar o quitar datos de la muestra.

Bibliografías:

[Anon, 2015]

Muñoz M. J., García A. (s/f)/“Espacios de Hilbert y Análisis de Fourier: los primeros pasos”, Universidad Carlos iii de Madrid

Márquez, F. (2018). ► Las Series de Fourier desde cero. Aprende ya!. Obtenido 18 de febrero 2021, de https://fisicaymates.com/series-de-fourier/

Nieto, A. (2020). Alguien ha hecho el vídeo perfecto para todos los que sufrimos intentando entender la Transformada de Fourier.Obtenido 18 de febrero 2021, dehttps://www.xataka.com/otros/alguien-ha-hecho-video-perfecto-para-todos-que-sufrimos-intentando-entender-transformada-fourier-1

Buscar este blog

Fundamentos de Telecomunicaciones